Matemática discreta Ejemplos

$5 x - 3 y = - 6$ , $6 x + 2 y = - 3$

Paso 1

Resuelve $x$ en $5 x - 3 y = - 6$ .

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Paso 1.1

Suma $3 y$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x = - 6 + 3 y$

$6 x + 2 y = - 3$

Paso 1.2

Divide cada término en $5 x = - 6 + 3 y$ por $5$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $5 x = - 6 + 3 y$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5} + \frac{3 y}{5}$

$6 x + 2 y = - 3$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5} + \frac{3 y}{5}$

$6 x + 2 y = - 3$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 6}{5} + \frac{3 y}{5}$

$6 x + 2 y = - 3$

$x = \frac{- 6}{5} + \frac{3 y}{5}$

$6 x + 2 y = - 3$

$x = \frac{- 6}{5} + \frac{3 y}{5}$

$6 x + 2 y = - 3$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

$6 x + 2 y = - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

$6 x + 2 y = - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

$6 x + 2 y = - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

$6 x + 2 y = - 3$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $6 x + 2 y = - 3$ por $- \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$ .

$6 (- \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}) + 2 y = - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $6 (- \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}) + 2 y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (- \frac{6}{5}) + 6 (\frac{3 y}{5}) + 2 y = - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $6 (- \frac{6}{5})$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$- 6 (\frac{6}{5}) + 6 (\frac{3 y}{5}) + 2 y = - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Combina $- 6$ y $\frac{6}{5}$ .

$\frac{- 6 \cdot 6}{5} + 6 (\frac{3 y}{5}) + 2 y = - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.1.2.3

Multiplica $- 6$ por $6$ .

$\frac{- 36}{5} + 6 (\frac{3 y}{5}) + 2 y = - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

$\frac{- 36}{5} + 6 (\frac{3 y}{5}) + 2 y = - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.1.3

Multiplica $6 \frac{3 y}{5}$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Combina $6$ y $\frac{3 y}{5}$ .

$\frac{- 36}{5} + \frac{6 (3 y)}{5} + 2 y = - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.1.3.2

Multiplica $3$ por $6$ .

$\frac{- 36}{5} + \frac{18 y}{5} + 2 y = - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

$\frac{- 36}{5} + \frac{18 y}{5} + 2 y = - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{36}{5} + \frac{18 y}{5} + 2 y = - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

$- \frac{36}{5} + \frac{18 y}{5} + 2 y = - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $2 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{36}{5} + \frac{18 y}{5} + 2 y \cdot \frac{5}{5} = - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.3

Combina $2 y$ y $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{36}{5} + \frac{18 y}{5} + \frac{2 y \cdot 5}{5} = - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{36}{5} + \frac{18 y + 2 y \cdot 5}{5} = - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 36 + 18 y + 2 y \cdot 5}{5} = - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.6

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{- 36 + 18 y + 10 y}{5} = - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.7

Suma $18 y$ y $10 y$ .

$\frac{- 36 + 28 y}{5} = - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.8

Factoriza $4$ de $- 36 + 28 y$ .

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Paso 2.2.1.8.1

Factoriza $4$ de $- 36$ .

$\frac{4 (- 9) + 28 y}{5} = - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.8.2

Factoriza $4$ de $28 y$ .

$\frac{4 (- 9) + 4 (7 y)}{5} = - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.8.3

Factoriza $4$ de $4 (- 9) + 4 (7 y)$ .

$\frac{4 (- 9 + 7 y)}{5} = - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

$\frac{4 (- 9 + 7 y)}{5} = - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.9

Reescribe $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$\frac{4 (- 1 \cdot 9 + 7 y)}{5} = - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.10

Factoriza $- 1$ de $7 y$ .

$\frac{4 (- 1 \cdot 9 - (- 7 y))}{5} = - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.11

Factoriza $- 1$ de $- 1 (9) - (- 7 y)$ .

$\frac{4 (- 1 (9 - 7 y))}{5} = - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 (9 - 7 y)}{5} = - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

$- \frac{4 (9 - 7 y)}{5} = - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

$- \frac{4 (9 - 7 y)}{5} = - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

$- \frac{4 (9 - 7 y)}{5} = - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $- \frac{4 (9 - 7 y)}{5} = - 3$ .

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4} \cdot (- \frac{4 (9 - 7 y)}{5}) = - \frac{5}{4} \cdot - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $- \frac{5}{4} (- \frac{4 (9 - 7 y)}{5})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.2.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{4}$ al numerador.

$\frac{- 5}{4} \cdot (- \frac{4 (9 - 7 y)}{5}) = - \frac{5}{4} \cdot - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.2.1.1.1.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4 (9 - 7 y)}{5}$ al numerador.

$\frac{- 5}{4} \cdot \frac{- 4 (9 - 7 y)}{5} = - \frac{5}{4} \cdot - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.2.1.1.1.3

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$\frac{5 (- 1)}{4} \cdot \frac{- 4 (9 - 7 y)}{5} = - \frac{5}{4} \cdot - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.2.1.1.1.4

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{- 4 (9 - 7 y)}{5} = - \frac{5}{4} \cdot - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.2.1.1.1.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{4} \cdot (- 4 (9 - 7 y)) = - \frac{5}{4} \cdot - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

$\frac{- 1}{4} \cdot (- 4 (9 - 7 y)) = - \frac{5}{4} \cdot - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Factoriza $4$ de $- 4 (9 - 7 y)$ .

$\frac{- 1}{4} \cdot (4 (- (9 - 7 y))) = - \frac{5}{4} \cdot - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{4} \cdot (4 (- (9 - 7 y))) = - \frac{5}{4} \cdot - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$9 - 7 y = - \frac{5}{4} \cdot - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

$9 - 7 y = - \frac{5}{4} \cdot - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.2.1.1.3

Multiplica.

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Paso 3.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (9 - 7 y) = - \frac{5}{4} \cdot - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.2.1.1.3.2

Multiplica $9 - 7 y$ por $1$ .

$9 - 7 y = - \frac{5}{4} \cdot - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

$9 - 7 y = - \frac{5}{4} \cdot - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

$9 - 7 y = - \frac{5}{4} \cdot - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

$9 - 7 y = - \frac{5}{4} \cdot - 3$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $- \frac{5}{4} \cdot - 3$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$9 - 7 y = 3 (\frac{5}{4})$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.2.2.1.2

Combina $3$ y $\frac{5}{4}$ .

$9 - 7 y = \frac{3 \cdot 5}{4}$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.2.2.1.3

Multiplica $3$ por $5$ .

$9 - 7 y = \frac{15}{4}$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

$9 - 7 y = \frac{15}{4}$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

$9 - 7 y = \frac{15}{4}$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

$9 - 7 y = \frac{15}{4}$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$- 7 y = \frac{15}{4} - 9$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.3.2

Para escribir $- 9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$- 7 y = \frac{15}{4} - 9 \cdot \frac{4}{4}$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.3.3

Combina $- 9$ y $\frac{4}{4}$ .

$- 7 y = \frac{15}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4}$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 7 y = \frac{15 - 9 \cdot 4}{4}$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.5.1

Multiplica $- 9$ por $4$ .

$- 7 y = \frac{15 - 36}{4}$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.3.5.2

Resta $36$ de $15$ .

$- 7 y = \frac{- 21}{4}$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

$- 7 y = \frac{- 21}{4}$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 7 y = - \frac{21}{4}$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

$- 7 y = - \frac{21}{4}$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.4

Divide cada término en $- 7 y = - \frac{21}{4}$ por $- 7$ y simplifica.

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Paso 3.4.1

Divide cada término en $- 7 y = - \frac{21}{4}$ por $- 7$ .

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{- \frac{21}{4}}{- 7}$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $- 7$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{- \frac{21}{4}}{- 7}$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{21}{4}}{- 7}$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

$y = \frac{- \frac{21}{4}}{- 7}$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

$y = \frac{- \frac{21}{4}}{- 7}$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = - \frac{21}{4} \cdot \frac{1}{- 7}$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.4.3.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.4.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{21}{4}$ al numerador.

$y = \frac{- 21}{4} \cdot \frac{1}{- 7}$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.4.3.2.2

Factoriza $7$ de $- 21$ .

$y = \frac{7 (- 3)}{4} \cdot \frac{1}{- 7}$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.4.3.2.3

Factoriza $7$ de $- 7$ .

$y = \frac{7 \cdot - 3}{4} \cdot \frac{1}{7 \cdot - 1}$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.4.3.2.4

Cancela el factor común.

$y = \frac{7 \cdot - 3}{4} \cdot \frac{1}{7 \cdot - 1}$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.4.3.2.5

Reescribe la expresión.

$y = \frac{- 3}{4} \cdot \frac{1}{- 1}$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

$y = \frac{- 3}{4} \cdot \frac{1}{- 1}$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.4.3.3

Multiplica $\frac{- 3}{4}$ por $\frac{1}{- 1}$ .

$y = \frac{- 3}{4 \cdot - 1}$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.4.3.4

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 3}{- 4}$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.4.3.5

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = \frac{3}{4}$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

$y = \frac{3}{4}$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

$y = \frac{3}{4}$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

$y = \frac{3}{4}$

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\frac{3}{4}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = - \frac{6}{5} + \frac{3 y}{5}$ por $\frac{3}{4}$ .

$x = - \frac{6}{5} + \frac{3 (\frac{3}{4})}{5}$

$y = \frac{3}{4}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $- \frac{6}{5} + \frac{3 (\frac{3}{4})}{5}$ .

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Paso 4.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- 6 + 3 (\frac{3}{4})}{5}$

$y = \frac{3}{4}$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $3 (\frac{3}{4})$ .

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Paso 4.2.1.2.1

Combina $3$ y $\frac{3}{4}$ .

$x = \frac{- 6 + \frac{3 \cdot 3}{4}}{5}$

$y = \frac{3}{4}$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$x = \frac{- 6 + \frac{9}{4}}{5}$

$y = \frac{3}{4}$

$x = \frac{- 6 + \frac{9}{4}}{5}$

$y = \frac{3}{4}$

Paso 4.2.1.3

Para escribir $- 6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{- 6 \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4}}{5}$

$y = \frac{3}{4}$

Paso 4.2.1.4

Combina $- 6$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{9}{4}}{5}$

$y = \frac{3}{4}$

Paso 4.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{\frac{- 6 \cdot 4 + 9}{4}}{5}$

$y = \frac{3}{4}$

Paso 4.2.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.6.1

Multiplica $- 6$ por $4$ .

$x = \frac{\frac{- 24 + 9}{4}}{5}$

$y = \frac{3}{4}$

Paso 4.2.1.6.2

Suma $- 24$ y $9$ .

$x = \frac{\frac{- 15}{4}}{5}$

$y = \frac{3}{4}$

$x = \frac{\frac{- 15}{4}}{5}$

$y = \frac{3}{4}$

Paso 4.2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{- \frac{15}{4}}{5}$

$y = \frac{3}{4}$

Paso 4.2.1.8

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = - \frac{15}{4} \cdot \frac{1}{5}$

$y = \frac{3}{4}$

Paso 4.2.1.9

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.2.1.9.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{15}{4}$ al numerador.

$x = \frac{- 15}{4} \cdot \frac{1}{5}$

$y = \frac{3}{4}$

Paso 4.2.1.9.2

Factoriza $5$ de $- 15$ .

$x = \frac{5 (- 3)}{4} \cdot \frac{1}{5}$

$y = \frac{3}{4}$

Paso 4.2.1.9.3

Cancela el factor común.

$x = \frac{5 \cdot - 3}{4} \cdot \frac{1}{5}$

$y = \frac{3}{4}$

Paso 4.2.1.9.4

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 3}{4}$

$y = \frac{3}{4}$

$x = \frac{- 3}{4}$

$y = \frac{3}{4}$

Paso 4.2.1.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3}{4}$

$y = \frac{3}{4}$

$x = - \frac{3}{4}$

$y = \frac{3}{4}$

$x = - \frac{3}{4}$

$y = \frac{3}{4}$

$x = - \frac{3}{4}$

$y = \frac{3}{4}$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(- \frac{3}{4}, \frac{3}{4})$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(- \frac{3}{4}, \frac{3}{4})$

Forma de la ecuación:

$x = - \frac{3}{4}, y = \frac{3}{4}$

Paso 7